Definizione differenziale del processo Geometric Brownian Motion e significato intuitivo/motivazione

Per arrivare alla definizione di moto browniano geometrico, mettiamolo a confronto con il Moto Browniano Aritmetico. 

L’Arithmetic Brownian Motion (ABM) procede per incrementi additivi e pur partendo da un prezzo iniziale relativamente alto, con un tempo sufficientemente ampio (poichè la varianza è proporzionale al tempo che trascorre), si potrebbero ottenere anche valori negativi. Pertanto, il modello ABM non è adeguato ad uno scenario finanziario dal momento che potrebbe generare prezzi negativi che non sono realistici. 

Un altro motivo per cui non è ragionevole considerare il Moto Browniano Aritmetico è perchè questo ragiona in termini additivi. In realtà noi siamo interessati a ragionare in termini moltiplicativi.

Quindi in ambito finanziario è più corretto utilizzare gli incrementi relativi, che chiameremo return o tasso di incremento, ovvero:

Si può passare da una forma additiva ad una forma moltiplicativa del tipo:

Da cui si ottiene l’equazione differenziale:

Questa differente definizione del Brownian Motion prende il nome di Geometric Brownian Motion (GBM) è un processo stocastico a tempo continuo in cui il logaritmo della quantità variabile casualmente segue un movimento browniano.

Se nell’ABM l’incremento dei prezzi è definito come una N(0, Δt) e le distribuzioni dei prezzi, allo stesso modo, sono normali, in GBM la situazione è differente. Infatti, il differenziale del prezzo non è più una somma di normali (e, di conseguenza, non è più una normale), ma corrisponde ad un prodotto. Quindi, per verificare la distribuzione del prezzo, occorre eliminare il prodotto  e per farlo si considera il logaritmo di entrambi i termini da cui segue, grazie alle proprietà dei logaritmi, che:

Sapendo che ln dPt si distribuisce secondo una Normale standardizzata Z, allora possiamo affermare che il prezzo al tempo t è distribuito secondo una logNormale standardizzata. Grazie a questa trasformazione logaritmica siamo riusciti a rendere nulla la probabilità di generare valori negativi (poiché il minimo valore è pari a 0) risolvendo dunque anche l’altro problema che impediva agli ABM di descrivere bene gli andamenti dei prezzi finanziari.