IL PROCESSO DI POISSON E LA SUA RELAZIONE CON LE VARIE DISTRIBUZIONI STATISTICHE 

Il processo di Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie N_t per t >0, che vengono viste come il numero di eventi accaduti dal tempo 0 al tempo t. 

Il numero di eventi tra il tempo a e il tempo b è dato come N_b − N_a ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo è una funzione a gradino sui numeri interi. 

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo e ha le seguenti proprietà:

• N(0)=0, ovvero nella sua origine il processo vale 0;
• Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovvero le variabili aleatorie sono indipendenti;
• la probabilità di avere un salto nell'intervallo è pari a lambda volte l'ampiezza del salto, cioè più è largo l'intervallo che considero, maggiore è la probabilità che avvenga un salto.

La costante di proporzionalità λ è detta intensità del processo.

• La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ovvero:

     

La variabile aleatoria di Poisson, è  collegata a molte altre variabili aleatorie. Per n→∞ e  λ=np costante, la distribuzione binomiale può essere approssimata a una distribuzione di Poisson. 

Ponendo np=λ  e quindi p=λ/n:

L’ultimo fattore presente al denominatore tende a 1 per n→∞.

In quanto è noto che .

Che corrisponde proprio alla probabilità di avere  successi quando  e  è costante.

Un’altra distribuzione riconducibile a quella di Poisson , è l’esponenziale negativa.

Un processo di Poisson N(t) si distribuisce secondo una distribuzione di Poisson di parametro λt e per  t=0, si ha che:

Se si considerano i tempi di interarrivo (ovvero la distanza tra due salti) si può dimostrare che questi hanno distribuzione esponenziale negativa. 

Indicando con A1 il primo tempo di interarrivo , si ha che : 

P(A1 ≤ t) = 1- P(A1> t) = 1-e-λt 

che corrisponde quest’ultima espressione alla funzione di ripartizione di una variabile esponenziale negativa.

L’ultimo passaggio è stato ricavato in quanto:

 

P(A1> t)= P(N(t)=0)= e-λt