PROCESSI STOCASTICI CON MEAN REVERSION  

Il Moto Browniano Geometrico, avendo la media e la varianza costanti per tutto l’intervallo di tempo considerato, quando si producono modelli per l’andamento di prezzi può rivelarsi inadatto. 

Per molti strumenti finanziari, soprattutto per quelli relativi alle commodities (materie prime), nasce l’esigenza di considerare il fatto che esse presentano un fenomeno di fluttuazione intorno ai prezzi di equilibrio, i processi Moto Browniano Geometrico e Moto Browniano Aritmetico, non sono in grado di descrivere questa particolare situazione. 

Per questo motivo nasce la necessità di considerare un nuovo fattore, cioè il concetto di Mean Reversion.

Si può utilizzare:

1. Moto Browniano Aritmetico + Mean Reversion
2. Moto Browniano Geometrico + Mean Reversion 

ll modello più semplice che contempla il concetto di mean reversion è il cosidetto modello di  Ornstein–Uhlenbeck che è una semplice variante del moto-browniano generalizzato, ovvero:

Rispetto alla formula equivalente del moto browniano notiamo come la componente sistematica μ sarà sostituita da:

mentre la componente stocastica rimane tale. 

 rappresenta la reversion speed (velocità con cui il prezzo corrente torna al prezzo d’equilibrio) ,   indica il prezzo di equilibrio, quindi questa forza o tendenza verso il livello di equilibrio sarà tanto più forte quanto maggiore è theta e quanto più è lontano il prezzo corrente dal prezzo di equilibrio.

Vasicek fu il primo, nel 1977, ad utilizzare questo processo in un modello. Tale modello viene considerato un modello aleatorio d’investimento, ma originariamente fu utilizzato per modellizzare i tassi d’interesse. 

Lo scopo di introdurre il  modello di  Vasicek(Ornstein–Uhlenbeck) è quello di avere traiettorie realistiche, perchè un prezzo che va a infinito non è realistico.